Staking-Formel für zwei Auszahlungsvarianten

[Fabo360]

Ich habe mich mal daran gemacht, zwei verschiedene Arten von Staking zu analysieren:

Der Staker stellt dem Player das Kapital zur Verfügung, Turniere zu spielen, sprich der Player spielt mit dem Geld des Stakers. Der Player gewinnt in jedem Spiel mit Wahrscheinlichkeit p den Gewinnbetrag W und muss für jedes Spiel die fixen Kosten C bezahlen.

Das heisst, für jedes Spiel erhält das Team (Staker und Player) mit Wahrscheinlichkeit p den Betrag: (W-C) oder mit Wahrscheinlichkeit (1-p) nur die Kosten C.

Um das ganze in einen Turnierkontext zu setzen, kann man p auch als durchschnittliche In-the-Money-Rate verstehen und W als den durchschnittlichen Gewinnbetrag, wenn man ITM kommt.

Man kann sich den Gewinnprozess in Abhängkeit von p auch so vorstellen, dass der Player pro Spiel eine Münze wirft, welche mit p Prozent Kopf anzeigt und er für jeden gewürfelten Kopf den Gewinnbetrag W bekommt, dabei kostet jedes Spiel C.

Staker und Player können entweder eine Anzahl n Spiele spielen und am Ende einen anfälligen Gesamtgewinn (Überschuss) durch A teilen (der Staker trägt die Kosten, wenn kein positiver Betrag übrigbleibt) oder alternativ nach jedem Spiel direkt den Erfolg abzüglich Kosten des einzelnen Spiels durch B aufteilen (hier trägt nach jedem Spiel bei Misserfolg der Staker alleine die Kosten).

A und B sind die Partizipationsraten im entsprechenden Auszahlungsmodus und liegen zwischen 1 und Unendlich, der Anteil des Stakers beläuft sich auf 1/Partizipationsrate, bei einer 1 bekommt der Staker 100% und je grösser die Partizipationsrate wird, desto kleiner wird der Anteil des Stakers.

Die Erwartungswerte für den Staker über die Anzahl der n gespielten Spiele sind:

a) Am Ende wird ein möglicher Überschuss durch A geteilt:

b) Direkt am Ende jedes einzelnen Spiels wird ein allfälliger Überschuss durch B geteilt:


Um die Abhängigkeiten zwischen den Partizipationsraten A und B zu erhalten, setzt man die beiden EVs gleich und erhält für B in Abhängigkeit von A:


und für A in Abhängigkeit von B:


Nehmen wir als Beispiel an C = 10, W = 120, p = 0.1 und A = 2, sprich ein allfälliger Gewinn wird nach n Spielen durch 2 geteilt.

Der ROI des Players ist in diesem Falle übrigens (p*W-C)/C = (12-10)/10 = 20%.

In die Formel für B (siehe oben) in Abhängkeit von A = 2 eingesetzt erhält man B = 1.1, sprich damit der Staker denselben Erwartungswert für beide Varianten erhält, muss er im Gegensatz zu 50% im Fall a) für jedes Spiel direkt nach Abschluss 1/1.1 = 90.9% Anteil an einem allfälligen Gewinn verlangen.

Je höher p oder W ist, desto grösser wird B in Abhängkeit von A, intuitiv, weil dann mehr Cash in der Variante B für den Staker übrigbleibt nach jedem Split, das er als Puffer für mögliche Verluste, die er alleine tragen muss, verwenden kann.

Wenn der ROI des Players klein ist und die Partizipationsrate B hoch wäre, dann zwackt der Player dem Staker immer nach jedem Win einen relativ grossen Betrag ab, während er dann wieder grössere Verluste wahrscheinlich in der Zukunft einfährt.

In jedem Falle wird B immer strikt kleiner als A sein (respektive um den gleichen EV zu bekommen wird der Staker im Fall B immer einen grösseren Anteil als im Fall A verlangen).

Damit man dies so exakt bestimmen kann, muss man natürlich die Werte für p und W schätzen, in der Praxis wird der Player oft auch unterschiedliche Turniere mit verschiedenen Buyins C spielen.
Ausserdem wird hier davon ausgegangen, dass der Player in jedem Falle gleich spielt, etc.

Vielleicht interessiert jemanden von euch das ja, ich dachte ich poste das mal, bin auch dankbar über Kritik oder Feedback. :-)

[tron]

ein paar bemerkungen:
- variante b) wird imho absolut nirgends so gehandhabt und ist obv auch supermöngig. ausnahme ist staking für einen einzelnen event, aber da ist standarddeal meistens 80/20 oder 90/10 (im gegensatz zu zu variante a, wo standarddeal meistens in der nähe von 50/50 ist). find daher die gleichsetzung der beiden formeln auch relativ sinnlos, da es imho kaum relevante aufschlüsse ergibt. wenn ich da was falsch verstanden habe, sorry.

- soweit ich das auf die schnelle sehe, hast du make-up ignoriert. und zwar nicht im sinne von, dass es direkt in die rechnung müsste (da W-C ja positiv ist), aber weil ein gestakter spieler im normalfall nicht spielen aufhören "darf", so lange er im make-up ist (respektive wenn er aufhören will oder zu nem anderen staker wechseln will, das make-up abkaufen muss [abhängig von konkreten deal und umständen liegt der wert des make-ups meistens zwischen 25% und 100% des totalbetrages]). einmal abgesehen davon, dass diese bedingung in der realität ned 100% umgesetzt werden kann, führt dies aber dazu, dass ein staking deal theoretisch endlos läuft, so lange das horse im minus ist.

- relevant ist in diesem zusammenhang aber, wie oft der staking deal abgerechnet wird. hier gibt es auch verschiedene gängige varianten. am verbreitetsten:
1) nach jedem zeitraum x (1-2 monate, anzahl turniere) wird abgerechnet, horse erhält von allfälligem plus den anteil x und make-up wird auf 0 gesetzt. (natürlich wird nur abgerechnet, wenn horse im plus ist seit letzter abrechnung)
2) es wird erst am ende des stakings abgerechnet. horse erhält wiederum von allfälligem plus den anteil x. deal ist beendet. wenn horse zu diesem zeitpunkt im minus ist, wird deal verlängert, sofern staker das wünscht.

variante 1) kann dazu führen, dass das horse geld verdient, obwohl netto der staking deal im minus ist; dies ist bei fall 2 ned möglich.
wenn du ausrechnen könntest, wieviel schlechter ein "fairer deal" in variante 1 gegenüber v2 sein müsste, fänd ich das sehr nice. ist relativ komplex, da es von swings und art und zeitpunkt der swings abhängt (wenn in v1 das horse im ersten monat massiv im minus ist und dann alles plus monate hat und am ende im plus ist, gibts das identische ergebnis wie in v2. wenn es aber umgekehrt läuft, ist der effekt massiv). und da loosing month selbst für vollzeitspieler sehr regelmässig vorkommen, ists an sich ne wichtige komponente für nen fairen deal.

bezüglich grösse der swings, siehe auch folgender blogpost (ist von gestern, geht um swings und expectation von loosing month / years abhängig von ROI und samplesize und so): <!-- m --><a class="postlink" href="http://www.nsdpoker.com/2011/01/mtt-pros/">http://www.nsdpoker.com/2011/01/mtt-pros/</a><!-- m --> <--- sollte sowieso mal von allen gelesen werden, welche viele mtts spielen (wollen).

[Abakus]

Schliesse mich Tron's Meinung an, übrigens sehr guter Artikel.

Im Staking ist wichtig Anreize der beiden Leute zu koppeln! Bei Stakeback (Stakee macht erst Gewinn, wenn alles Geld zurückgezahlt ist) z.B. kann es geschehen, dass wenn das Horse zu viel im Minus ist, es gar keine Motivation mehr hat gut zu spielen (kommt eh nicht mehr ins Plus).
Oder mit RB ist auch immer aufzupassen. Nicht dass das Horse auf mein Risiko RB grinden kann. (ich möchte immer mind. den selben Satz auf RB wie auf Winnings, eigtl. immer mehr)

Bei ca. 90% der Deals ist es so, dass sie wesentlich attraktiver für das Horse als für den Staker sind. Wichtig ist vor allem den ROI nicht zu überschätzen.
a) Bin ich der Meinung man kann seinen A-Game ROI nciht erreichen, wenn man ein Limit spielt, wofür man nicht rolled ist. Der 2. Teil von BRM ist eben in seiner Confidence Zone zu spielen.
b) glaube ich nicht, dass man einen wahren ROI von 100% haben kann. (Survivorship Bias, wenn man 1000 top MTT Regs nimmt, findet man 50 die signifikant beweisen können einen ROI über dem MaxROI zu erreichen, obwohl sie es eben nicht haben)-->sind dann die besonders guten^^

[y_jason_y]

teil 2 des blogs ist übrigens seit anfangs februar online (fand part 1 ziemlich gut, thx tron):
<!-- m --><a class="postlink" href="http://www.nsdpoker.com/2011/02/mtt_pros_2/">http://www.nsdpoker.com/2011/02/mtt_pros_2/</a><!-- m -->